В продольной плоскости на самолет действуют сила тяжести G = mg (рис. 1.9), направленная по вертикали, подъемная сила У, направленная перпендикулярно скорости набегающего потока, сила лобового сопротивления X, направленная по скорости этого потока, и тяга двигателей Р, направленная к потоку под углом, близким к углу атаки а (полагая угол установки двигателей относительно оси Ох і равным нулю).
Продольное движение самолета наиболее удобно рассматривать в скоростной системе координат. В этом случае проекция вектора скорости на ось Оу равна нулю. Угловая скорость вращения касательной к траектории движения центра масс относительно оси Ог
<ог= -В = & - а.
Тогда уравнения движения центра масс самолета в проекциях на оси Ох и Оу имеют следующий вид:
проекции сил на ось Ох (касательную к траектории):
mV = - X-Osm0-f-/°cosa; (1.2)
проекции сил на ось Оу (нормаль к траектории):
mVb = Y - G cos 0 — f~ Z3 sin a. (1.3)
Уравнения, описывающие вращение самолета относительно центра масс, наиболее простыми получаются в связанной системе
координат, поскольку ее оси совпадают с главными осями инерции. Так как при рассмотрении изолированного продольного движения полагаем р=0 (при этом условии скоростная система координат совпадает с полусвязан — ной) и, следовательно, ось Ог скоростной системы координат совпадает с осью Ozi связанной системы, то уравнение моментов относительно оси Oz имеет вид:
где /2 - момент инерции самолета относительно оси Ог;
Мг - аэродинамический момент тангажа, продольный момент.
Для анализа характеристик продольного движения самолета относительно его центра масс необходимо добавить уравнение связи углов атаки, тангажа и наклона траектории:
При рассмотрении динамики продольного траєкторного движения самолета - движения его центра масс относительно земли - необходимы еще два кинематических уравнения:
xg = L*=V COS0; (1.6)
yg - H = V sin б, (1.7)
где Н - высота полета;
L - пройденное расстояние вдоль оси Oxg земной системы координат, которая предполагается совпадающей по направлению с осью Ох скоростной системы.
В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические силы и моменты являются нелинейными функциями следующих параметров:
Х=Х(*% I7, М, Ря);
Г = Г(*9 1/, м, Ря);
M2 = Mz(bв. <*» а, V, М, рн),
: (ая “ скорость звука на высоте полета);
ря - плотность воздуха на высоте полета; бв - угол отклонения руля высоты.
Эти силы и моменты могут быть записаны через аэродинамические коэффициенты:
где Cx - Cx (a, M) -коэффициент лобового сопротивления;
Су -Су (a, М) -коэффициент подъемной силы;
mz-mz (бв, a, a, d, M) -коэффициент продольного момента M%
S - площадь крыла самолета;
Ьа -средняя аэродинамическая хорда САХ.
Тяга двигателей также является нелинейной функцией ряда параметров:
Р = Р(8д) М, рн, Тя),
где бл - перемещение органа, управляющего тягой двигателей; ри -давление на высоте полета;
Тя - абсолютная температура воздуха на высоте полета.
Будем рассматривать в качестве невозмущенного движения установившееся прямолинейное движение
Полагаем, что параметры возмущенного движения могут быть выражены через их установившиеся значения и малые приращения:
а = а0-4-Да;
Є-VU;
Проведя с учетом (1.15) линеаризацию уравнений возмущенного движения (1.2-1.7) и принимая во внимание уравнения невозмущенного движения (1.9-1.14), получим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами :
mbV = - XvbV - Xм ДМ -Х“Да- А^р&Д yg- G cos 0ОД0 — f + COS а0ДМ - P0 sin а0Да — f P? cos а0рйдyg -f P T COS а„Тун^Уе +
cos «0Д8д; (1.16)
mV^b = YVW + КмДМ + К“Да — f Кіу Дyg + О sin 0ОД6 +
РМ sin аоДМ + PQ cos а0Да — f P? sin а0р^Дyg +
P T sin *ъТу„Ьув + P5 sin а0Д5д; (1.17)
Izb = M ® Д8В — f M’M — f МІДа — f AlfbA — f
|
дХ, дХ < vrp дХ У - ‘ Л 1 — —— |
В этих уравнениях для упрощения письма введены символические обозначения частных производных:
При исследовании динамики захода на посадку и посадки самолета уравнения (1.16-1.18) могут быть упрощены за счет пренебрежения (по их малости) членами, содержащими производные по параметрам р, Т, производными аэродинамических сил и их моментов по числу М. По аналогичным соображениям производную Ям можно заменить производной Pv, а приращение ДМ - приращением XV. Кроме того, в уравнении моментов необходимо учесть, что Mzv = 0 и Мрг =0, поскольку коэффициент момента mZo = 0. Тогда уравнения (1.16-1.18) примут вид:
mAV=-XvAV — Х’1Ая — О cos 0ОД0 + Pv cos а0ДК —
Р„ s і П а0Д а — f — Р5 cos а0Д&л; (1.16а)
mV0A
Я0 cos а0Да-(-Р8 sin а0Д8д; (1.17a)
1$ = Щ Д8В + м Да + М Да + Д 8;
Yv=c!/oSpV0; Ya = cauS ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
105" height="32">
 |
|
|
|
|
|
|
Л, . « . Юг-^ =M-A. v0 K0
Заметим, что члены, содержащие управляющие координаты 6Д и 6В, находятся в правой части уравнений. Характеристический полином для системы уравнений движения неуправляемого самолета (с зажатыми органами управления) имеет следующий вид:
А (р) = Р4 -f яjP3 + йоР2 + а3р — f д4, (1.24)
где йі = йу + £а-+ — f г — ;
+ — f с. + ^ь+с;)(«vr -60);
Й3 = Г« (rtK ~ + + + ^4)(a6^V ~av b*)>
ai - ca{atbv - avbH).
Согласно критерию Гурвица-Рауса движение, описываемое уравнением четвертого порядка, устойчиво тогда, когда коэффициенты аь а2, а3 и а4 положительны и а3(аіа2-аз)-а4аі2>0.
Эти условия обычно удовлетворяются не только для режимов захода на посадку, но и для всех эксплуатационных режимов полета дозвуковых гражданских самолетов. Корни характеристического полинома (1.24) обычно комплексно-сопряженные, различные по величине, и им соответствуют два различных колебательных движения. Одно из этих движений (короткопериодическое) имеет малый период с сильным затуханием. Другое движение (длиннопериодическое, или фугоидное) является медленно затухающим движением с большим периодом.
Вследствие этого возмущенное продольное движение может рассматриваться как взаимное наложение этих двух движений. Учитывая, что периоды этих движений весьма различны и что короткопериодическое колебание сравнительно быстро затухает (за 2-4 сек), оказывается возможным рассматривать короткопериодическое и длиннопериодическое движения изолированно друг от друга.
Возникновение короткопериодического движения связано с нарушением равновесия моментов сил, действующих в продольной плоскости самолета. Это нарушение может быть, например, результатом воздействия ветрового возмущения, приводящего к изменению угла атаки самолета, аэродинамических сил и моментов. Вследствие нарушения равновесия моментов самолет начинает поворачиваться относительно поперечной оси Oz. Если движение устойчиво, то он вернется к прежнему значению угла атаки. Если же нарушение равновесия моментов произошло вследствие отклонения руля высоты, то самолет в результате короткопериодического движения выйдет на новый угол атаки, при котором равновесие моментов, действующих относительно поперечной оси самолета, восстанавливается.
За время короткопериодического движения скорость самолета не успевает значительно измениться.
Поэтому при исследовании такого движения можно полагать, что оно происходит при скорости невозмущенного движения, т. е. можно принять ДУ-0. Полагая исходный режим близким к горизонтальному полету (0«О), можно исключить из рассмотрения член, содержащий Ьд.
В этом случае система уравнений, описывающих короткопериодическое движение самолета, принимает следующий вид:
Дб - &аДа=0;
Д б + е j Д& — f ск Да — f саДа == с5Дйв; Дб = Д& - Да.
Характеристический полином для этой системы уравнении имеет вид:
Л(/>)к = д(/>2 + аі/> + а. Ф где а=ьЛск+с> Ї
Короткопериодическое движение устойчиво, если коэффициенты «і и 02 положительны, что обычно и имеет место, поскольку в об ласти эксплуатационных режимов величины b*, сх, г» и существенно положительны.
ния стремится к нулю. При этом величина
частоту собственных колебаний самолета в короткопериодическом движении, а величина --- их затухание. Первая величина определяется главным образом коэффициентом ml, характеризующим степень продольной статической устойчивости самолета. В свою очередь коэффициент ml зависит от центровки самолета, т. е. от взаимного расположения точки приложения аэродинамической силы и центра масс самолета.
Вторая величина, обусловливающая затухание, определяется
в большой степени коэффициентами моментов mlz и т% ■ Коэффициент т’"гг зависит от площади горизонтального оперения и его расстояния от центра масс, а коэффициент ml еще и от запаздывания скоса потока у оперения. Практически, вследствие большого затухания, изменение угла атаки имеет характер, близкий к апериодическому.
Нулевой корень р3 указывает на нейтральность самолета относительно углов д и 0. Это является следствием сделанного выпи упрощения (ДУ = 0) и исключения из рассмотрения сил, связанным с изменением угла тангажа, что допустимо только для начального периода возмущенного продольного движения - короткопериоди ческого *. Изменения углов A# и ДО рассматриваются в длиннопе риодическом движении, которое упрощенно можно считать начинающимся после окончания короткопериодического движения. При
1 Подробно по этому вопросу см .
этом Ла=0, а величины углов тангажа и наклона траектории отличны от значений, имевших место в исходном невозмущенном движении. Вследствие этого нарушается равновесие проекций сил на касательную и нормаль к траектории, что приводит к возникновению длиннопериодических колебаний, в процессе которых происходят изменения не только углов О и 0, но и скорости полета. При условии устойчивости движения равновесие проекций сил восстанавливается и колебания затухают.
Таким образом, для упрощенного исследования длиннопериодического движения достаточно рассмотреть уравнения проекций сил на касательную и нормаль к траектории, полагая Да = 0. Тогда система уравнений продольного движения принимает вид:
(1.28)
Характеристический полином для этой системы уравнений имеет вид:
где ai = av-b^ a2=abbv - avbb.
Устойчивость движения обеспечивается при условии «і >0; й2>0. Затухание колебаний существенно зависит от значений производной Pv и коэффициента сХа, а частота собственных колебаний- еще и от коэффициента су„ поскольку эти коэффициенты определяют величины проекций сил на касательную и нормаль к траектории.
Следует отметить, что для случаев горизонтального полета, набора высоты и снижения с малыми углами 0 коэффициент Ьв имеет очень малую величину. При исключении члена, содержащего
из второго уравнения (1.28) получаем at = av; a2 = aebv.
Анализ нелинейной системы дифференциальных уравнений ((2.1) - (2.7)) и их решение представляет определенные трудности. Поэтому первым шагом на пути их исследования является линеаризация связей между переменными, получение линейной математической модели самолета как объекта управления с последующим анализом динамических свойств.
Для получения линеаризованных уравнений движения необходимо установить зависимость сил и моментов от величин, и V а также от регулирующих факторов.
Сила тяги двигателя P зависит от внутренних параметров, а также от внешних условий, характеризуемых скоростью полета V, давлением p н и температурой T н в атмосфере.
Аэродинамические силы и моменты принято представлять в виде
где c x и c y - коэффициенты сопротивления и подъемной силы;
m z - коэффициент момента тангажа;
b A - длина хорды крыла;
S - площадь крыльев;
q - скоростной напор, вычисляемый по формуле:
Коэффициенты c x и c y являются функциями и V, а коэффициент m z функцией и в.
Для линеаризации уравнений (2.1) - (2.7) с учетом соотношений (2.8) - (2.9) воспользуемся известным методом представления нелинейных зависимостей в виде линейных отклонений относительно невозмущенного движения (в предположении малости этих отклонений). В качестве невозмущенного движения можно взять горизонтальный полет с постоянной скоростью. При этом будем пренебрегать влиянием нестационарности обтекания на аэродинамические характеристики самолета. Предположим, что невозмущенное движение самолета характеризуется параметрами V 0 ,H 0 , 0 , 0 , 0 ,не зависящими от времени. Пусть в некоторый момент времени вследствие возмущений, действующих на самолет, имеем:
где V, H - малые приращения.
Следовательно, возмущенное движение самолета состоит из невозмущенного движения и движения, характеризуемого малыми отклонениями. Такая трактовка возмущенного движения законна до тех пор, пока приращения V, и H остаются малыми, что имеет место для устойчивых систем. Так как одним из основных назначений системы управления является обеспечение устойчивости режима полета, то законность использования линеаризованных уравнений можно считать обеспеченной.
Разлагая силы P, X, Y и момент M z в ряды Тейлора по малым приращениям и ограничиваясь линейными членами приращений, вместо уравнений (2.1) - (2.5) получим:
где члены с верхними индексами обозначают частные производные по соответствующим переменным в окрестности невозмущенного движения.
Предположим, что невозмущенный полет является горизонтальным, тогда 0 =0. Для частных производных, входящих в уравнения (2.10), можно с учетом (2.8) написать:
в этих выражениях М - число Маха.
В целях дальнейших преобразований воспользуемся соотношениями:
или, если учесть, что
где a - скорость звука, то
Кроме того, воспользуемся зависимостью между высотой H и параметрами атмосферы и T H
Градиент температуры,
R - газовая постоянная.
Пользуясь выражением (2.13), найдем:
Следовательно
В целях сокращения записи введем безразмерные величины:
где - аэродинамическая постоянная времени самолета, а также вместо приращений, и будем записывать, и, придавая последним величинам смысл тех же приращений.
Воспользовавшись соотношениями (2.11) - (2.16), приведем уравнения (2.10) к виду:
r - радиус инерции самолета.
Система дифференциальных уравнений (2.17) является линейной математической моделью продольного движения самолета.
Динамика самолета в продольной плоскости характеризуется двумя составляющими: короткопериодической и длиннопериодической . В короткопериодическом движении очень резкие изменения претерпевают параметры и, характеризующие движение самолета относительно центра масс. При длиннопериодическом движении изменяются параметры и V, характеризующие положение центра масс самолета. Поэтому в уравнениях (2.17) можно положить = 0, считая, что за время изменения угловых координат и скорость полета практически не изменяется . Другими словами продольная ось самолета может совершать колебания относительно вектора скорости центра масс.
Если учесть сделанные замечания и принять, что равновесие продольных сил при возмущении по и не нарушается, то вместо системы (2.17) получим для случая горизонтального полета.
Выделение уравнений продольного движения из полной системы уравнений продольного движения самолета.
Наличие у ЛА плоскости материальной симметрии позволяет разделить его пространственное движение на продольное и боковое. К продольному движению относится движение ЛА в вертикальной плоскости при отсутствии крена и скольжения, при нейтральном положении руля и элеронов. При этом происходят два поступательных и одно вращательное движение. Поступательное движение реализуются вдоль вектора скорости и по нормали, вращательное – вокруг оси Z. Продольное движение характеризуется углом атаки α, углом наклона траектории θ, углом тангажа, скоростью полета͵ высотой полета͵ а также положением руля высоты и величиной и направлением в вертикальной плоскости тяги ДУ.
Система уравнений продольного движения самолета.
Замкнутая система, описывающая продольное движение самолета может быть выделена из полной системы уравнений, при условии, что параметры бокового движения, а также углы отклонения органов управления креном и рысканьем равны 0.
Соотношение α = ν – θ оплучено из первого геометрического уравнения после его преобразования.
Последнее уравнение системы 6.1 не влияет на остальные и может быть решено отдельно. 6.1 – нелинейная система, т.к. содержит в себе произведения переменных и тригонометрических функций, выражения для аэродинамических усилий.
Для получения упрощенной линейной модели продольного движения самолета͵ крайне важно ввести определенные допущения и провести процедуру линеаризации. С целью обоснования дополнительных допущений, нам крайне важно рассмотреть динамику продольного движения самолета при ступенчатом отклонении руля высоты.
Реакция самолета на ступенчатое отклонение руля высоты. Разделение продольного движения на долго- и кратковременное.
При ступенчатом отклонении δ в возникает момент М z (δ в), который вращает относительно оси Z со скоростью ω z . При этом происходит изменение угла тангажа и атаки. При увеличении угла атаки возникает приращение подъемной силы и соответствующий этому момент продольной статической устойчивости М z (Δα),который противодейсвует моменту М z (δ в). По истечению вращения, на определенном угле атаки он его компенсирует.
Изменение угла атаки после уравновешивания моментов М z (Δα) и М z (δ в) останавливается, но, т.к. самолет обладает определенными инерциальными свойствами, ᴛ.ᴇ. обладает моментом инерции I z относительно оси ОZ, то установление угла атаки носит колебательный характер.
Угловые колебания самолета вокруг оси ОZ будут демпфировать ся с помощью собственного момента аэродинамического демпфирования М z (ω z). Приращение подъемной силы начинает изменять направление вектора скорости. Изменяется также угол наклона траектории θ.Это в свою очередь влияет на угол атаки.Исходя из сбалансированности моментных нагрузок синхронно с изменением угла наклона траектории продолжает изменяться угол тангажа. При этом угол атаки – постоянный. Угловые движения на малом интервале происходят с высокой частотой, ᴛ.ᴇ. имеют короткий период и называются краткопериодическими.
После того, как затухнут кратковременные колебания, становится заметным изменение скорости полета. В основном за счет составляющей Gsinθ. Изменение скорости ΔV влияет на приращение подъемной силы, и как следствие, на угол наклона траектории. Последнее изменяет скорость полета. При этом возникают угасающие колебания вектора скорости по величине и направлению.
Указанные движения характеризуются низкой частотой, угасают медленно, в связи с этим их называют долгопериодическими.
При рассмотрении динамики продольного движения нами не была учтена дополнительная подъемная сила, создаваемая отклонением руля высоты. Данное усилие направлено на уменьшение полной подъемной силы, в связи с этим ддля тяжелых самолетов наблюдается явление просадки – качественное отклонение угла наклона траектории с одновременным увеличением угла тангажа. Это происходит пока приращение подъемной силы не скомпенсирует составляющую подъемной силы за счет отклонения руля высоты.
На практике, долгопериодические колебания не возникают, т.к. своевременно гасятся пилотом, или автоматическими органами управления.
Передаточные функции и структурные схемы матмодели продольного движения .
Передаточной функцией принято называть изображение выходной величены, по изображению входной при нулевых начальных условиях.
Особенностью передаточных функций самолета͵ как объекта управления является то, что отношение выходной величины, по сравнению со входной берется с отрицательным знаком. Это связано с тем, что в аэродинамике принято в качестве положенительного отклонения органов управления считать отклонения, которые создают отрицательные приращения параметров движения самолета.
В операторной форме записи имеет вид:
Системе 6.10, которая описывает кратковременное движение самолета соответствуют решения:
(6.11)
(6.12)
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можем записать передаточные функции, которые связывают угол атаки и угловую скорость по тангажу от отклонения руля высоты
(6.13)
Для того, чтобы передаточные функции имели стандартный вид, введем следующие обозначения:
, 
, 
, , 
,
Учитывая эти соотношения перепишем 6.13:
(6.14)
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, передаточные функции по углу наклона траектории и по углу тангажа, в зависимости от отклонения руля высоты будут иметь следующий вид:
(6.17)
Одним из важнейших параметров, которые характеризуют продольное движение самолета является нормальная перегрузка. Перегрузка бывает: Нормальной (по оси ОУ), продольная (по оси ОХ) и боковая (по оси OZ). Вычисляется как сумма сил, действующих на самолет в определенном направлении, деленная на силу тяжести. Проекции на оси позволяют вычислить величину и соотношение ее с g.
- нормальная перегрузка,
Из первого уравнения сил системы 6.3 получим:
Используя выражения для перегрузки перепишем:
Для условий горизонтального полета ( :
Запишем структурную схему, которая соответствует передаточной функции:
 |
|||
| |
| |
Боковая сила Z a (δ н) создает момент крена М х (δ н). Соотношение моментов М х (δ н) и М х (β) характеризует прямую и обратную реакцию самолета на отклонение руля направления. В случае, если М х (δ н)по модулю больше, чем М х (β), самолет будет наклоняться в противоположную сторону разворота.
Принимая во внимание вышесказанное можем построить структурную схему для анализа бокового движения ЛА при отклонении руля направления.
-δ н М у ω y ψ ψ  |  |
||||||||||||
| |
|||||
| |
В режиме так называемого плоского разворота моменты крена компенсируются пилотом, либо соответствующей системой управления. Следует отметить, что при малом боковом движении самолет кренится, вместе с этим происходит наклон подъемной силы, что вызывает боковую проекцию Y a sinγ, которая начинает развивать большое боковое движение: самолет начинает скользить на наклоненное полукрыло, при этом увеличиваются соответствующие аэродинамические силы и моменты, и значит роль начинают играть так называемые "спиральные моменты": М у (ω х) и М у (ω z). Большое боковое движение целесообразно рассматривать при уже наклоненном самолете, или на примере динамики самолета при отклонении элеронов.
Реакция самолета на отклонение элеронов.
При отклонении элеронов возникает момент М х (δ э). Самолет начинает вращаться вокруг связанной оси ОХ, при этом появляется угол крена γ. Демпфирующий момент М х (ω х) противодействует вращению самолета. При наклоне самолета вследствии изменения угла крена возникает боковая сила Z g (Уа), которая является результирующей от силы веса и подъемной силы У а. Эта сила "разворачивает" вектор скорости, при этом начинает меняться путевой угол Ψ 1 , что приводит к возникновению угла скольжения β и соответствующей силы Z a (β), а также момента путевой статической устойчивости М у (β), который начинает разворачивать продольную ось самолета с угловой скоростью ω у. Вследствие такого движения начинает меняться угол рысканья ψ. Боковая сила Z a (β) направлена в противоположную сторону по отношению к силе Z g (Уа) в связи с этим она в некоторой степени уменьшает скорость изменения путевого угла Ψ 1 .
Сила Z a (β) также является причиной момента поперечной статической устойчивости. М х (β), который в свою очередь старается вывести самолет из крена, а угловая скорость ω у и соответствующий ей спиральный аэродинамический момент М х (ω у) стараются увеличить угол крена. В случае если М х (ω у) больше М х (β) – возникает ак называемая "спиральная неустойчивость", при которой угол крена после возвращения элеронов в нейтральное положение продолжает увеличиваться, что приводит к развороту самолета с возрастающей угловой скоростью.
Такой разворот принято называть координированным разворотом, при этом угол крена задается пилотом, либо с помощью системы автоматического управления. При этом в процессе разворота компенсируются возмущающие моменты по крену М х β и М х ωу, руль направления при этом компенсирует скольжение, то есть β, Z a (β), М у (β) = 0, при этом момент М у (β), который разворачивал продольную ось самолета͵ замещается моментом от руля направления М у (δ н), а боковая сила Z a (β), которая препятствовала изменению путевого угла замещается силой Z a (δ н). В случае координированного разворота скорость (маневренность) увеличивается, при єтом продольная ось самолета совпадает с вектором воздушной скорости и разворачивается синхронно с изменение угла Ψ 1 .
В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пренебречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.
только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.
При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.
Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей решаемой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориентации оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент времени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.
Связанная система координат OXYZ. Начало координат расположено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо параллельно какому-либо другому, фиксированному относительно самолета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при горизонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.
Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.
Углом скольжения р называется угол между воздушной скоростью самолета и плоскостью OXY связанной системы координат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.
Положение связанной системы осей координат OXYZ относительно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему
координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нормальной системы координат.
При исследовании динамики самолетов используются следующие понятия углов Эйлера.
Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным направлением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную плоскость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.
Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.
Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вертикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Будем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими
вектора угловой скорости движения самолета относительно нормальной системы координат, на связанные оси, получим уравнения связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:
со* = Y + sin *&;
o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)
со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.
При выводе уравнений движения центра масс самолета необходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения
-^- + о>xV)=# + G, (1.2)
где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;
R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-
ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.
Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:
т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)
т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>
где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции
результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.
Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с использованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:
Gy = - G cos ft cos у; (1.4)
GZ = G cos d sin y.
При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями
Vх = V cos a cos р;
Vу = - V sin a cos р;
|
Связанная |
Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:
Rx = - cxqS — f Р cos ([>;
Rty = cyqS p sin (1.6)
где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты
Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)
Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле
где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими
соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):
■ф = Кcos У — sin V):
■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)
Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),
а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движения самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона изменения момента количества движения
-^-=MR-ZxK.(1.9)
В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->
К - момент количества движения самолета; MR - главный момент внешних сил, действующих на самолет.
Проекции вектора момента количества движения К на подвижные оси в общем случае записываются в следующем виде:
К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI
К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)
К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*
Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распространенного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений движения самолета относительно ЦМ:
h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-
Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инерции самолета.
Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде
где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.
Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от кинематических параметров движения и параметров подобия, зависящих от режима полета:
у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)
Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти параметры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.
Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных параметров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.
Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложений в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки достаточно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следующую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:
сх ^ схо 4~ сх (°0»
У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;
сг = cfp + СгН6„;
тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!
о (0.- (0^- р б б„
ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;
тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.
При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а продольный момент может быть представлен в виде
mz (а) = mzo + т£а,
где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.
Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-
НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение
динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обработке одновременно определяются величины:
СО — СО- ,
тг* = т2г —mz;
 |
0) , R. Юу I в.
mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.
СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft
ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.
|
|
В работе показано, что для анализа динамики самолета,
особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-
тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$
приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.
понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в эксперименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выражения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим
= % COS а + coA. sina — f -^r }
